Issolvi {l}{text{(1)}-5x+2y=15}{text{(I)}x+3y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } - 5 x + 2 y = 15 } \\ { \text { (I) } x + 3 y = 32 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{19}{17} = 1\frac{2}{17} \approx 1.117647059$$

$$y = \frac{175}{17} = 10\frac{5}{17} \approx 10.294117647$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+2y=15$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-2y+15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+15\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-2y+15.

$$x=\frac{2}{5}y-3$$

Issostitwixxi \frac{2y}{5}-3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+3y=32.

$$\frac{2}{5}y-3+3y=32$$

Żid \frac{2y}{5} ma' 3y.

$$\frac{17}{5}y-3=32$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{17}{5}y=35$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{17}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{175}{17}$$

Issostitwixxi \frac{175}{17} għal y f'x=\frac{2}{5}y-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{175}{17}-3$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'\frac{175}{17} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{70}{17}-3$$

Żid -3 ma' \frac{70}{17}.

$$x=\frac{19}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-2}&-\frac{2}{-5\times 3-2}\\-\frac{1}{-5\times 3-2}&-\frac{5}{-5\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 15+\frac{2}{17}\times 32\\\frac{1}{17}\times 15+\frac{5}{17}\times 32\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{17}\\\frac{175}{17}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Biex tagħmel -5x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$-5x+2y=15,-5x-5\times 3y=-5\times 32$$

Issimplifika.

$$-5x+2y=15,-5x-15y=-160$$

Naqqas -5x-15y=-160 minn -5x+2y=15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x+5x+2y+15y=15+160$$

Żid -5x ma' 5x. -5x u 5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+15y=15+160$$

Żid 2y ma' 15y.

$$17y=15+160$$

Żid 15 ma' 160.

$$17y=175$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=\frac{175}{17}$$

Issostitwixxi \frac{175}{17} għal y f'x+3y=32. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+3\times \frac{175}{17}=32$$

Immultiplika 3 b'\frac{175}{17}.

$$x+\frac{525}{17}=32$$

Naqqas \frac{525}{17} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{19}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$