Issolvi {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y+2z=4\times 3$$

Immultiplika 4 u 3 biex tikseb 12.

$$y+2z=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Immultiplika 2 u 7 biex tikseb 14.

$$5y+14z=48$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+2z=12$$

Naqqas 2z miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2z+12$$

Issostitwixxi -2z+12 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Immultiplika 5 b'-2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Żid -10z ma' 14z.

$$4z+60=48$$

Naqqas 60 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4z=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$z=-3$$

Issostitwixxi -3 għal z f'y=-2z+12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Immultiplika -2 b'-3.

$$y=6+12$$

Żid 12 ma' 6.

$$y=18$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=18,z=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y+2z=4\times 3$$

Immultiplika 4 u 3 biex tikseb 12.

$$y+2z=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Immultiplika 2 u 7 biex tikseb 14.

$$5y+14z=48$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u z.

$$y=18,z=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y+2z=4\times 3$$

Immultiplika 4 u 3 biex tikseb 12.

$$y+2z=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Immultiplika 2 u 7 biex tikseb 14.

$$5y+14z=48$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Biex tagħmel y u 5y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Issimplifika.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Naqqas 5y+14z=48 minn 5y+10z=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Żid 5y ma' -5y. 5y u -5y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10z-14z=60-48$$

Żid 10z ma' -14z.

$$-4z=60-48$$

Żid 60 ma' -48.

$$-4z=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$z=-3$$

Issostitwixxi -3 għal z f'5y+14z=48. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Immultiplika 14 b'-3.

$$5y-42=48$$

Żid 42 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=90$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=18$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=18,z=-3$$