Issolvi {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli x ma jistax ikun ugwali għal \frac{4}{3} billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2\left(3x-4\right), l-inqas denominatur komuni ta' 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2y+2-3x=-4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2y-3x=-4-2$$

Naqqas 2 minn -4 biex tikseb -6.

$$2y-3x=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli x ma jistax ikun ugwali għal -\frac{11}{3} billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5x+y-3x=11$$

Ikkombina 5x u -3x biex tikseb 2x.

$$2x+y=11$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2y-3x=-6$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=3x-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Issostitwixxi \frac{3x}{2}-3 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Żid \frac{3x}{2} ma' 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y=\frac{3}{2}x-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'4.

$$y=6-3$$

Żid -3 ma' 6.

$$y=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=3,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli x ma jistax ikun ugwali għal \frac{4}{3} billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2\left(3x-4\right), l-inqas denominatur komuni ta' 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2y+2-3x=-4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2y-3x=-4-2$$

Naqqas 2 minn -4 biex tikseb -6.

$$2y-3x=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli x ma jistax ikun ugwali għal -\frac{11}{3} billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5x+y-3x=11$$

Ikkombina 5x u -3x biex tikseb 2x.

$$2x+y=11$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=3,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli x ma jistax ikun ugwali għal \frac{4}{3} billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2\left(3x-4\right), l-inqas denominatur komuni ta' 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2y+2-3x=-4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2y-3x=-4-2$$

Naqqas 2 minn -4 biex tikseb -6.

$$2y-3x=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli x ma jistax ikun ugwali għal -\frac{11}{3} billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5x+y-3x=11$$

Ikkombina 5x u -3x biex tikseb 2x.

$$2x+y=11$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Biex tagħmel 2y u y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Issimplifika.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Naqqas 2y+4x=22 minn 2y-3x=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Żid 2y ma' -2y. 2y u -2y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3x-4x=-6-22$$

Żid -3x ma' -4x.

$$-7x=-6-22$$

Żid -6 ma' -22.

$$-7x=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y+2x=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+2\times 4=11$$

Immultiplika 2 b'4.

$$y+8=11$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=3,x=4$$