Issolvi {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'36.

$$x-36y=756$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20.

$$20x-y=320$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-36y=756$$

Żid 36y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=36y+756$$

Issostitwixxi 756+36y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

Immultiplika 20 b'756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

Żid 720y ma' -y.

$$719y+15120=320$$

Naqqas 15120 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$719y=-14800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Issostitwixxi -\frac{14800}{719} għal y f'x=36y+756. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

Immultiplika 36 b'-\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

Żid 756 ma' -\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'36.

$$x-36y=756$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20.

$$20x-y=320$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'36.

$$x-36y=756$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20.

$$20x-y=320$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Biex tagħmel x u 20x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'20 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

Issimplifika.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

Naqqas 20x-y=320 minn 20x-720y=15120 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-720y+y=15120-320$$

Żid -720y ma' y.

$$-719y=15120-320$$

Żid 15120 ma' -320.

$$-719y=14800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Issostitwixxi -\frac{14800}{719} għal y f'20x-y=320. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

Naqqas \frac{14800}{719} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$