Issolvi {l}{x/33-y=26}{x-y/88=66}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 33 } - y = 26 } \\ { x - \frac { y } { 88 } = 66 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{190806}{2903} = 65\frac{2111}{2903} \approx 65.727178781$$

$$y = -\frac{69696}{2903} = -24\frac{24}{2903} \approx -24.00826731$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'33.

$$x-33y=858$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'88.

$$88x-y=5808$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-33y=858$$

Żid 33y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=33y+858$$

Issostitwixxi 858+33y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 88x-y=5808.

$$88\left(33y+858\right)-y=5808$$

Immultiplika 88 b'858+33y.

$$2904y+75504-y=5808$$

Żid 2904y ma' -y.

$$2903y+75504=5808$$

Naqqas 75504 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2903y=-69696$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2903.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

Issostitwixxi -\frac{69696}{2903} għal y f'x=33y+858. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=33\left(-\frac{69696}{2903}\right)+858$$

Immultiplika 33 b'-\frac{69696}{2903}.

$$x=-\frac{2299968}{2903}+858$$

Żid 858 ma' -\frac{2299968}{2903}.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'33.

$$x-33y=858$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'88.

$$88x-y=5808$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}&-\frac{-33}{-1-\left(-33\times 88\right)}\\-\frac{88}{-1-\left(-33\times 88\right)}&\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}&\frac{33}{2903}\\-\frac{88}{2903}&\frac{1}{2903}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}\times 858+\frac{33}{2903}\times 5808\\-\frac{88}{2903}\times 858+\frac{1}{2903}\times 5808\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190806}{2903}\\-\frac{69696}{2903}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'33.

$$x-33y=858$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'88.

$$88x-y=5808$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Biex tagħmel x u 88x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'88 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$88x+88\left(-33\right)y=88\times 858,88x-y=5808$$

Issimplifika.

$$88x-2904y=75504,88x-y=5808$$

Naqqas 88x-y=5808 minn 88x-2904y=75504 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$88x-88x-2904y+y=75504-5808$$

Żid 88x ma' -88x. 88x u -88x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2904y+y=75504-5808$$

Żid -2904y ma' y.

$$-2903y=75504-5808$$

Żid 75504 ma' -5808.

$$-2903y=69696$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2903.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

Issostitwixxi -\frac{69696}{2903} għal y f'88x-y=5808. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$88x-\left(-\frac{69696}{2903}\right)=5808$$

Naqqas \frac{69696}{2903} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$88x=\frac{16790928}{2903}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'88.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$