Issolvi {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni u l-Formula Kwadratika

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'36, l-inqas denominatur komuni ta' 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Solvi 3x+4y=1 għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal equals.

$$3x+4y=1$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

Ikkwadra -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Immultiplika 4 b'\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Żid 9y^{2} ma' \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} għal a, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 għal b, u -\frac{320}{9} għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Ikkwadra 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Immultiplika -4 b'9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Immultiplika -\frac{580}{9} b'-\frac{320}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Żid \frac{1024}{81} ma' \frac{185600}{81} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

L-oppost ta' 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 huwa \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Immultiplika 2 b'9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} fejn ± hija plus. Żid \frac{32}{9} ma' 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Iddividi \frac{464}{9} b'\frac{290}{9} billi timmultiplika \frac{464}{9} bir-reċiproku ta' \frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} fejn ± hija minus. Naqqas 48 minn \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Iddividi -\frac{400}{9} b'\frac{290}{9} billi timmultiplika -\frac{400}{9} bir-reċiproku ta' \frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

Hemm żewġ soluzzjonijiet għal y: \frac{8}{5} u -\frac{40}{29}. Issostitwixxi \frac{8}{5} għal y fl-ekwazzjoni x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'\frac{8}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Żid -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} ma' \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Issa ssostitwixxi -\frac{40}{29} ma' y fl-ekwazzjoni x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} u solvi biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'-\frac{40}{29} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Żid -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) ma' \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$