Issolvi {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 10 b'x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Naqqas 20 minn 20 biex tikseb 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$10x+4y-5x=20$$

Ikkombina 10x u -5x biex tikseb 5x.

$$5x+4y=20$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Żid -1 u 9 biex tikseb 8.

$$3x+3y=x+8$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3x+3y-x=8$$

Ikkombina 3x u -x biex tikseb 2x.

$$2x+3y=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+4y=20$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-4y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{4y}{5}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Immultiplika 2 b'-\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Żid -\frac{8y}{5} ma' 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=-\frac{4}{5}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 10 b'x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Naqqas 20 minn 20 biex tikseb 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$10x+4y-5x=20$$

Ikkombina 10x u -5x biex tikseb 5x.

$$5x+4y=20$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Żid -1 u 9 biex tikseb 8.

$$3x+3y=x+8$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3x+3y-x=8$$

Ikkombina 3x u -x biex tikseb 2x.

$$2x+3y=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 10 b'x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Naqqas 20 minn 20 biex tikseb 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$10x+4y-5x=20$$

Ikkombina 10x u -5x biex tikseb 5x.

$$5x+4y=20$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Żid -1 u 9 biex tikseb 8.

$$3x+3y=x+8$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3x+3y-x=8$$

Ikkombina 3x u -x biex tikseb 2x.

$$2x+3y=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Issimplifika.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Naqqas 10x+15y=40 minn 10x+8y=40 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-15y=40-40$$

Żid 8y ma' -15y.

$$-7y=40-40$$

Żid 40 ma' -40.

$$-7y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'2x+3y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=0$$