Issolvi {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal -2 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y+2\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+3-2y=4$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x-2y=4-3$$

Naqqas 3 minn 4 biex tikseb 1.

$$3x-2y=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y-1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-2.

$$3x-6=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-6-y=-1$$

Żid 6 maż-żewġ naħat.

$$3x-y=-1+6$$

Żid -1 u 6 biex tikseb 5.

$$3x-y=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y=1$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2y+1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Immultiplika 3 b'\frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

Żid 2y ma' -y.

$$y+1=5$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Żid \frac{1}{3} ma' \frac{8}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal -2 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y+2\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+3-2y=4$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x-2y=4-3$$

Naqqas 3 minn 4 biex tikseb 1.

$$3x-2y=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y-1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-2.

$$3x-6=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-6-y=-1$$

Żid 6 maż-żewġ naħat.

$$3x-y=-1+6$$

Żid -1 u 6 biex tikseb 5.

$$3x-y=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal -2 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y+2\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+3-2y=4$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x-2y=4-3$$

Naqqas 3 minn 4 biex tikseb 1.

$$3x-2y=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y-1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-2.

$$3x-6=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-6-y=-1$$

Żid 6 maż-żewġ naħat.

$$3x-y=-1+6$$

Żid -1 u 6 biex tikseb 5.

$$3x-y=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Naqqas 3x-y=5 minn 3x-2y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y+y=1-5$$

Żid -2y ma' y.

$$-y=1-5$$

Żid 1 ma' -5.

$$-y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'3x-y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-4=5$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=4$$