Issolvi {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Solvi għal k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli L ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'L.

$$k=100L$$

Issostitwixxi 100L għal k fl-ekwazzjoni l-oħra, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Immultiplika 5 b'100L.

$$500L+50L=110$$

Żid 500L ma' 50L.

$$550L=110$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{1}{5} għal L f'k=100L. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal k direttament.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Immultiplika 100 b'\frac{1}{5}.

$$k=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli L ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'L.

$$k=100L$$

Naqqas 100L miż-żewġ naħat.

$$k-100L=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi k u L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli L ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'L.

$$k=100L$$

Naqqas 100L miż-żewġ naħat.

$$k-100L=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Biex tagħmel k u 5k ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Issimplifika.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Naqqas 5k+50L=110 minn 5k-500L=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Żid 5k ma' -5k. 5k u -5k jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-500L-50L=-110$$

Żid -500L ma' -50L.

$$-550L=-110$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{1}{5} għal L f'5k+50L=110. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal k direttament.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Immultiplika 50 b'\frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5k=100$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$k=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$