Issolvi {l}{3x+y/2=4}{6x-5y=-19}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 4 } \\ { 6 x - 5 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$3x+y=4\times 2$$

Immultiplika 4 u 2 biex tikseb 8.

$$3x+y=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=8,6x-5y=-19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=8$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+8.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+8}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-5y=-19.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)-5y=-19$$

Immultiplika 6 b'\frac{-y+8}{3}.

$$-2y+16-5y=-19$$

Żid -2y ma' -5y.

$$-7y+16=-19$$

Naqqas 16 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=-35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times 5+\frac{8}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'5.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Żid \frac{8}{3} ma' -\frac{5}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$3x+y=4\times 2$$

Immultiplika 4 u 2 biex tikseb 8.

$$3x+y=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=8,6x-5y=-19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 8+\frac{1}{21}\left(-19\right)\\\frac{2}{7}\times 8-\frac{1}{7}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$3x+y=4\times 2$$

Immultiplika 4 u 2 biex tikseb 8.

$$3x+y=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=8,6x-5y=-19$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6y=6\times 8,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-19\right)$$

Issimplifika.

$$18x+6y=48,18x-15y=-57$$

Naqqas 18x-15y=-57 minn 18x+6y=48 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x+6y+15y=48+57$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y+15y=48+57$$

Żid 6y ma' 15y.

$$21y=48+57$$

Żid 48 ma' 57.

$$21y=105$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'21.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'6x-5y=-19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-5\times 5=-19$$

Immultiplika -5 b'5.

$$6x-25=-19$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=5$$