Issolvi {l}{2x/3=y/2+1}{x+y=48}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 3 } = \frac { y } { 2 } + 1 } \\ { x + y = 48 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{150}{7} = 21\frac{3}{7} \approx 21.428571429$$

$$y = \frac{186}{7} = 26\frac{4}{7} \approx 26.571428571$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2\times 2x=3y+6$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$4x=3y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'6+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3}{2}+\frac{3y}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=48.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}+y=48$$

Żid \frac{3y}{4} ma' y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{2}=48$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{4}y=\frac{93}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{186}{7}$$

Issostitwixxi \frac{186}{7} għal y f'x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{186}{7}+\frac{3}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'\frac{186}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{279}{14}+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' \frac{279}{14} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{150}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{150}{7},y=\frac{186}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2\times 2x=3y+6$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$4x=3y+6$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$4x-3y=6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-3y=6,x+y=48$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 6+\frac{3}{7}\times 48\\-\frac{1}{7}\times 6+\frac{4}{7}\times 48\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{150}{7}\\\frac{186}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{150}{7},y=\frac{186}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2\times 2x=3y+6$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$4x=3y+6$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$4x-3y=6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-3y=6,x+y=48$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x-3y=6,4x+4y=4\times 48$$

Issimplifika.

$$4x-3y=6,4x+4y=192$$

Naqqas 4x+4y=192 minn 4x-3y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x-3y-4y=6-192$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-4y=6-192$$

Żid -3y ma' -4y.

$$-7y=6-192$$

Żid 6 ma' -192.

$$-7y=-186$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=\frac{186}{7}$$

Issostitwixxi \frac{186}{7} għal y f'x+y=48. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{186}{7}=48$$

Naqqas \frac{186}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{150}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{150}{7},y=\frac{186}{7}$$