Issolvi {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

Solvi għal A, B

$$A=300$$

$$B=200$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal A billi tiżola A fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

Naqqas B miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

Issostitwixxi -\frac{3B}{2}+600 għal A fl-ekwazzjoni l-oħra, A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

Żid -\frac{3B}{2} ma' \frac{4B}{5}.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

Naqqas 600 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{10}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$B=200$$

Issostitwixxi 200 għal B f'A=-\frac{3}{2}B+600. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'200.

$$A=-300+600$$

Żid 600 ma' -300.

$$A=300$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=300,B=200$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi A u B.

$$A=300,B=200$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Biex tagħmel \frac{2A}{3} u A ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'\frac{2}{3}.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

Issimplifika.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

Naqqas \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} minn \frac{2}{3}A+B=400 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Żid \frac{2A}{3} ma' -\frac{2A}{3}. \frac{2A}{3} u -\frac{2A}{3} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Żid B ma' -\frac{8B}{15}.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Żid 400 ma' -\frac{920}{3}.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{15}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$B=200$$

Issostitwixxi 200 għal B f'A+\frac{4}{5}B=460. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

Immultiplika \frac{4}{5} b'200.

$$A+160=460$$

Naqqas 160 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$A=300$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=300,B=200$$