Issolvi {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'100.

$$108x+110y=100800$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas il-frazzjoni \frac{110}{100} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{108}{100} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$108x+110y=100800$$

Naqqas 110y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$108x=-110y+100800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Immultiplika \frac{1}{108} b'-110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Immultiplika \frac{11}{10} b'-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Żid -\frac{121y}{108} ma' \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Naqqas \frac{3080}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{109}{2700}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Issostitwixxi -\frac{3600}{109} għal y f'x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Immultiplika -\frac{55}{54} b'-\frac{3600}{109} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Żid \frac{2800}{3} ma' \frac{11000}{327} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'100.

$$108x+110y=100800$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas il-frazzjoni \frac{110}{100} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{108}{100} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'100.

$$108x+110y=100800$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas il-frazzjoni \frac{110}{100} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{108}{100} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Biex tagħmel 108x u \frac{11x}{10} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{11}{10} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Issimplifika.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Naqqas \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 minn \frac{594}{5}x+121y=110880 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Żid \frac{594x}{5} ma' -\frac{594x}{5}. \frac{594x}{5} u -\frac{594x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Żid 121y ma' -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Żid 110880 ma' -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{109}{25}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Issostitwixxi -\frac{3600}{109} għal y f'\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Immultiplika \frac{27}{25} b'-\frac{3600}{109} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Żid \frac{3888}{109} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{10}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$