Issolvi {l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-68$$

$$y=-40$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

Żid \frac{4y}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

Immultiplika 2 b'\frac{4y}{5}-2.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

Issostitwixxi \frac{8y}{5}-4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'\frac{8y}{5}-4.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

Żid \frac{4y}{15} ma' -\frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

Żid \frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=-40$$

Issostitwixxi -40 għal y f'x=\frac{8}{5}y-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

Immultiplika \frac{8}{5} b'-40.

$$x=-64-4$$

Żid -4 ma' -64.

$$x=-68$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-68,y=-40$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-68,y=-40$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Biex tagħmel \frac{x}{2} u \frac{x}{6} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{1}{6} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

Issimplifika.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

Naqqas \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 minn \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Żid \frac{x}{12} ma' -\frac{x}{12}. \frac{x}{12} u -\frac{x}{12} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Żid -\frac{2y}{15} ma' \frac{y}{6}.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

Żid -\frac{1}{3} ma' -1.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'30.

$$y=-40$$

Issostitwixxi -40 għal y f'\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-40.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

Naqqas \frac{40}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-68$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-68,y=-40$$