Issolvi {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Biex issib l-oppost ta' 1+2y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Naqqas 8x miż-żewġ naħat.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Ikkombina 6x u -8x biex tikseb -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Żid 20y maż-żewġ naħat.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Ikkombina -2y u 20y biex tikseb 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$-2x+18y=-21+1$$

Żid -21 u 1 biex tikseb -20.

$$-2x+18y=-20$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x+18y=-20$$

Naqqas 18y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-18y-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-18y-20.

$$x=9y+10$$

Issostitwixxi 9y+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Żid \frac{9y}{5} ma' \frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{73}{35}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=9y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

Immultiplika 9 b'-1.

$$x=-9+10$$

Żid 10 ma' -9.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Biex issib l-oppost ta' 1+2y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Naqqas 8x miż-żewġ naħat.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Ikkombina 6x u -8x biex tikseb -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Żid 20y maż-żewġ naħat.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Ikkombina -2y u 20y biex tikseb 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$-2x+18y=-21+1$$

Żid -21 u 1 biex tikseb -20.

$$-2x+18y=-20$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Biex issib l-oppost ta' 1+2y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Naqqas 8x miż-żewġ naħat.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Ikkombina 6x u -8x biex tikseb -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Żid 20y maż-żewġ naħat.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Ikkombina -2y u 20y biex tikseb 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$-2x+18y=-21+1$$

Żid -21 u 1 biex tikseb -20.

$$-2x+18y=-20$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Biex tagħmel -2x u \frac{x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{1}{5} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Issimplifika.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

Naqqas -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} minn -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Żid -\frac{2x}{5} ma' \frac{2x}{5}. -\frac{2x}{5} u \frac{2x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Żid \frac{18y}{5} ma' \frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Żid -4 ma' -\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{146}{35}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

Immultiplika \frac{2}{7} b'-1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Żid \frac{2}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$