Issolvi {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+2y=9$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-2y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-2y+9.

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

Issostitwixxi -y+\frac{9}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-7y=21.

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

Immultiplika 3 b'-y+\frac{9}{2}.

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

Żid -3y ma' -7y.

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

Naqqas \frac{27}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10y=\frac{15}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{4} għal y f'x=-y+\frac{9}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

Immultiplika -1 b'-\frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

Żid \frac{9}{2} ma' \frac{3}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{21}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

Issimplifika.

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

Naqqas 6x-14y=42 minn 6x+6y=27 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y+14y=27-42$$

Żid 6y ma' 14y.

$$20y=27-42$$

Żid 27 ma' -42.

$$20y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{4} għal y f'3x-7y=21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

Immultiplika -7 b'-\frac{3}{4}.

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

Naqqas \frac{21}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{63}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{21}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$