Issolvi {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 15 miż-żewġ naħat.

$$y-3x=10-15$$

Naqqas 15 minn 10 biex tikseb -5.

$$y-3x=-5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$6-4x-y=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-4x-y=-6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-3x=-5$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=3x-5$$

Issostitwixxi 3x-5 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Immultiplika -1 b'3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Żid -3x ma' -4x.

$$-7x+5=-6$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=-11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Issostitwixxi \frac{11}{7} għal x f'y=3x-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Immultiplika 3 b'\frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Żid -5 ma' \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 15 miż-żewġ naħat.

$$y-3x=10-15$$

Naqqas 15 minn 10 biex tikseb -5.

$$y-3x=-5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$6-4x-y=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-4x-y=-6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 15 miż-żewġ naħat.

$$y-3x=10-15$$

Naqqas 15 minn 10 biex tikseb -5.

$$y-3x=-5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$6-4x-y=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-4x-y=-6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Biex tagħmel y u -y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Issimplifika.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Naqqas -y-4x=-6 minn -y+3x=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x+4x=5+6$$

Żid 3x ma' 4x.

$$7x=5+6$$

Żid 5 ma' 6.

$$7x=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Issostitwixxi \frac{11}{7} għal x f'-y-4x=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Immultiplika -4 b'\frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Żid \frac{44}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$