Issolvi {c}{y=x+6}{y=1/2x+4}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-4$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-x=6$$

Żid x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=x+6$$

Issostitwixxi x+6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-\frac{1}{2}x=4.

$$x+6-\frac{1}{2}x=4$$

Żid x ma' -\frac{x}{2}.

$$\frac{1}{2}x+6=4$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'y=x+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-4+6$$

Żid 6 ma' -4.

$$y=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=2,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 4\\-2\times 6+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=2,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Naqqas y-\frac{1}{2}x=4 minn y-x=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-x+\frac{1}{2}x=6-4$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-x+\frac{1}{2}x=6-4$$

Żid -x ma' \frac{x}{2}.

$$-\frac{1}{2}x=6-4$$

Żid 6 ma' -4.

$$-\frac{1}{2}x=2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'y-\frac{1}{2}x=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{1}{2}\left(-4\right)=4$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-4.

$$y+2=4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=2,x=-4$$