Issolvi {c}{y=-t/t+3x+3}{y=t/t-3x-t^2/t-3+3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - \frac { t } { t + 3 } x + 3 } \\ { y = \frac { t } { t - 3 } x - \frac { t ^ { 2 } } { t - 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t+3}{2}\text{, }y=-\frac{t}{2}+3\text{, }&t\neq 0\text{ and }|t|\neq 3\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=3\text{, }&t=0\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b't+3.

$$y\left(t+3\right)=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b't+3.

$$yt+3y=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Esprimi \left(-\frac{t}{t+3}\right)x bħala frazzjoni waħda.

$$yt+3y=\frac{-tx}{t+3}\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Esprimi \frac{-tx}{t+3}\left(t+3\right) bħala frazzjoni waħda.

$$yt+3y=\frac{-tx\left(t+3\right)}{t+3}+\left(t+3\right)\times 3$$

Annulla t+3 fin-numeratur u d-denominatur.

$$yt+3y=-tx+\left(t+3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika t+3 b'3.

$$yt+3y=-tx+3t+9$$

Żid tx maż-żewġ naħat.

$$yt+3y+tx=3t+9$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom x,y.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b't-3.

$$y\left(t-3\right)=tx-t^{2}+\left(t-3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b't-3.

$$yt-3y=tx-t^{2}+\left(t-3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika t-3 b'3.

$$yt-3y=tx-t^{2}+3t-9$$

Naqqas tx miż-żewġ naħat.

$$yt-3y-tx=-t^{2}+3t-9$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom x,y.

$$\left(t-3\right)y-tx=-t^{2}+3t-9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9,\left(t-3\right)y+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9$$

Naqqas tx miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(t+3\right)y=\left(-t\right)x+3t+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b't+3.

$$y=\frac{1}{t+3}\left(\left(-t\right)x+3t+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{t+3} b'-tx+9+3t.

$$y=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x+3$$

Issostitwixxi \frac{3t+9-tx}{t+3} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, \left(t-3\right)y+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9.

$$\left(t-3\right)\left(\left(-\frac{t}{t+3}\right)x+3\right)+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9$$

Immultiplika t-3 b'\frac{3t+9-tx}{t+3}.

$$\left(-\frac{t\left(t-3\right)}{t+3}\right)x+3t-9+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9$$

Żid -\frac{\left(t-3\right)tx}{t+3} ma' -tx.

$$\left(-\frac{2t^{2}}{t+3}\right)x+3t-9=-t^{2}+3t-9$$

Naqqas -9+3t miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-\frac{2t^{2}}{t+3}\right)x=-t^{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{2t^{2}}{t+3}.

$$x=\frac{t+3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{t+3}{2} għal x f'y=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\left(-\frac{t}{t+3}\right)\times \frac{t+3}{2}+3$$

Immultiplika -\frac{t}{t+3} b'\frac{t+3}{2}.

$$y=-\frac{t}{2}+3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{t}{2}+3,x=\frac{t+3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b't+3.

$$y\left(t+3\right)=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b't+3.

$$yt+3y=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Esprimi \left(-\frac{t}{t+3}\right)x bħala frazzjoni waħda.

$$yt+3y=\frac{-tx}{t+3}\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Esprimi \frac{-tx}{t+3}\left(t+3\right) bħala frazzjoni waħda.

$$yt+3y=\frac{-tx\left(t+3\right)}{t+3}+\left(t+3\right)\times 3$$

Annulla t+3 fin-numeratur u d-denominatur.

$$yt+3y=-tx+\left(t+3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika t+3 b'3.

$$yt+3y=-tx+3t+9$$

Żid tx maż-żewġ naħat.

$$yt+3y+tx=3t+9$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom x,y.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b't-3.

$$y\left(t-3\right)=tx-t^{2}+\left(t-3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b't-3.

$$yt-3y=tx-t^{2}+\left(t-3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika t-3 b'3.

$$yt-3y=tx-t^{2}+3t-9$$

Naqqas tx miż-żewġ naħat.

$$yt-3y-tx=-t^{2}+3t-9$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom x,y.

$$\left(t-3\right)y-tx=-t^{2}+3t-9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9,\left(t-3\right)y+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3t+9\\-t^{2}+3t-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3t+9\\-t^{2}+3t-9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3t+9\\-t^{2}+3t-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}t+3&t\\t-3&-t\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3t+9\\-t^{2}+3t-9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{t}{\left(t+3\right)\left(-t\right)-t\left(t-3\right)}&-\frac{t}{\left(t+3\right)\left(-t\right)-t\left(t-3\right)}\\-\frac{t-3}{\left(t+3\right)\left(-t\right)-t\left(t-3\right)}&\frac{t+3}{\left(t+3\right)\left(-t\right)-t\left(t-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3t+9\\-t^{2}+3t-9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2t}&\frac{1}{2t}\\\frac{t-3}{2t^{2}}&-\frac{t+3}{2t^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3t+9\\-t^{2}+3t-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2t}\left(3t+9\right)+\frac{1}{2t}\left(-t^{2}+3t-9\right)\\\frac{t-3}{2t^{2}}\left(3t+9\right)+\left(-\frac{t+3}{2t^{2}}\right)\left(-t^{2}+3t-9\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{t}{2}+3\\\frac{t+3}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{t}{2}+3,x=\frac{t+3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b't+3.

$$y\left(t+3\right)=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b't+3.

$$yt+3y=\left(-\frac{t}{t+3}\right)x\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Esprimi \left(-\frac{t}{t+3}\right)x bħala frazzjoni waħda.

$$yt+3y=\frac{-tx}{t+3}\left(t+3\right)+\left(t+3\right)\times 3$$

Esprimi \frac{-tx}{t+3}\left(t+3\right) bħala frazzjoni waħda.

$$yt+3y=\frac{-tx\left(t+3\right)}{t+3}+\left(t+3\right)\times 3$$

Annulla t+3 fin-numeratur u d-denominatur.

$$yt+3y=-tx+\left(t+3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika t+3 b'3.

$$yt+3y=-tx+3t+9$$

Żid tx maż-żewġ naħat.

$$yt+3y+tx=3t+9$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom x,y.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b't-3.

$$y\left(t-3\right)=tx-t^{2}+\left(t-3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b't-3.

$$yt-3y=tx-t^{2}+\left(t-3\right)\times 3$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika t-3 b'3.

$$yt-3y=tx-t^{2}+3t-9$$

Naqqas tx miż-żewġ naħat.

$$yt-3y-tx=-t^{2}+3t-9$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom x,y.

$$\left(t-3\right)y-tx=-t^{2}+3t-9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\left(t+3\right)y+tx=3t+9,\left(t-3\right)y+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9$$

Biex tagħmel \left(t+3\right)y u \left(t-3\right)y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b't-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b't+3.

$$\left(t-3\right)\left(t+3\right)y+\left(t-3\right)tx=\left(t-3\right)\left(3t+9\right),\left(t+3\right)\left(t-3\right)y+\left(t+3\right)\left(-t\right)x=\left(t+3\right)\left(-t^{2}+3t-9\right)$$

Issimplifika.

$$\left(t^{2}-9\right)y+t\left(t-3\right)x=3t^{2}-27,\left(t^{2}-9\right)y+\left(-t\left(t+3\right)\right)x=-t^{3}-27$$

Naqqas \left(t^{2}-9\right)y+\left(-t\left(t+3\right)\right)x=-t^{3}-27 minn \left(t^{2}-9\right)y+t\left(t-3\right)x=3t^{2}-27 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\left(t^{2}-9\right)y+\left(9-t^{2}\right)y+t\left(t-3\right)x+t\left(t+3\right)x=3t^{2}-27+t^{3}+27$$

Żid y\left(t^{2}-9\right) ma' \left(t+3\right)\left(-t+3\right)y. y\left(t^{2}-9\right) u \left(t+3\right)\left(-t+3\right)y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$t\left(t-3\right)x+t\left(t+3\right)x=3t^{2}-27+t^{3}+27$$

Żid \left(t-3\right)tx ma' \left(t+3\right)tx.

$$2t^{2}x=3t^{2}-27+t^{3}+27$$

Żid -27+3t^{2} ma' t^{3}+27.

$$2t^{2}x=\left(t+3\right)t^{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2t^{2}.

$$x=\frac{t+3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3+t}{2} għal x f'\left(t-3\right)y+\left(-t\right)x=-t^{2}+3t-9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$\left(t-3\right)y+\left(-t\right)\times \frac{t+3}{2}=-t^{2}+3t-9$$

Immultiplika -t b'\frac{3+t}{2}.

$$\left(t-3\right)y-\frac{t\left(t+3\right)}{2}=-t^{2}+3t-9$$

Żid \frac{t\left(3+t\right)}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(t-3\right)y=\frac{\left(3-t\right)\left(t-6\right)}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b't-3.

$$y=-\frac{t}{2}+3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{t}{2}+3,x=\frac{t+3}{2}$$