Issolvi {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-3y=6$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3y+6$$

Issostitwixxi 6+3y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x-y=6.

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

Immultiplika -8 b'6+3y.

$$-24y-48-y=6$$

Żid -24y ma' -y.

$$-25y-48=6$$

Żid 48 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-25y=54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Issostitwixxi -\frac{54}{25} għal y f'x=3y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

Immultiplika 3 b'-\frac{54}{25}.

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{162}{25}.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Biex tagħmel x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

Issimplifika.

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

Naqqas -8x-y=6 minn -8x+24y=-48 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

Żid -8x ma' 8x. -8x u 8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$24y+y=-48-6$$

Żid 24y ma' y.

$$25y=-48-6$$

Żid -48 ma' -6.

$$25y=-54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Issostitwixxi -\frac{54}{25} għal y f'-8x-y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

Naqqas \frac{54}{25} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=\frac{96}{25}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$