Issolvi {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-3y=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'y-5.

$$x-5=4y-20$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$x-5-4y=-20$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$x-4y=-20+5$$

Żid -20 u 5 biex tikseb -15.

$$x-4y=-15$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-3y=2$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3y+2$$

Issostitwixxi 3y+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

Żid 3y ma' -4y.

$$-y+2=-15$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'x=3y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3\times 17+2$$

Immultiplika 3 b'17.

$$x=51+2$$

Żid 2 ma' 51.

$$x=53$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=53,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-3y=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'y-5.

$$x-5=4y-20$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$x-5-4y=-20$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$x-4y=-20+5$$

Żid -20 u 5 biex tikseb -15.

$$x-4y=-15$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=53,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-3y=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'y-5.

$$x-5=4y-20$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$x-5-4y=-20$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$x-4y=-20+5$$

Żid -20 u 5 biex tikseb -15.

$$x-4y=-15$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Naqqas x-4y=-15 minn x-3y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y+4y=2+15$$

Żid -3y ma' 4y.

$$y=2+15$$

Żid 2 ma' 15.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'x-4y=-15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-4\times 17=-15$$

Immultiplika -4 b'17.

$$x-68=-15$$

Żid 68 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=53$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=53,y=17$$