Issolvi {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 23y miż-żewġ naħat.

$$2x+y-23y=0$$

Ikkombina y u -23y biex tikseb -22y.

$$2x-22y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=89$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+89$$

Issostitwixxi -y+89 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Immultiplika 2 b'-y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Żid -2y ma' -22y.

$$-24y+178=0$$

Naqqas 178 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-24y=-178$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Issostitwixxi \frac{89}{12} għal y f'x=-y+89. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Żid 89 ma' -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 23y miż-żewġ naħat.

$$2x+y-23y=0$$

Ikkombina y u -23y biex tikseb -22y.

$$2x-22y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 23y miż-żewġ naħat.

$$2x+y-23y=0$$

Ikkombina y u -23y biex tikseb -22y.

$$2x-22y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Issimplifika.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Naqqas 2x-22y=0 minn 2x+2y=178 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+22y=178$$

Żid 2y ma' 22y.

$$24y=178$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Issostitwixxi \frac{89}{12} għal y f'2x-22y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Immultiplika -22 b'\frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Żid \frac{979}{6} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{979}{12}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$