Issolvi {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=8$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+8$$

Issostitwixxi -y+8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Immultiplika 40 b'-y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Żid -40y ma' 55y.

$$15y+320=410$$

Naqqas 320 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15y=90$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=-y+8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-6+8$$

Żid 8 ma' -6.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Biex tagħmel x u 40x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'40 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Issimplifika.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Naqqas 40x+55y=410 minn 40x+40y=320 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Żid 40x ma' -40x. 40x u -40x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$40y-55y=320-410$$

Żid 40y ma' -55y.

$$-15y=320-410$$

Żid 320 ma' -410.

$$-15y=-90$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'40x+55y=410. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$40x+55\times 6=410$$

Immultiplika 55 b'6.

$$40x+330=410$$

Naqqas 330 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$40x=80$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'40.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=6$$