Issolvi {c}{x+y=69}{2x+y=23}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 23 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-46$$

$$y=115$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=69$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+69$$

Issostitwixxi -y+69 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=23.

$$2\left(-y+69\right)+y=23$$

Immultiplika 2 b'-y+69.

$$-2y+138+y=23$$

Żid -2y ma' y.

$$-y+138=23$$

Naqqas 138 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-115$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=115$$

Issostitwixxi 115 għal y f'x=-y+69. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-115+69$$

Żid 69 ma' -115.

$$x=-46$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-46,y=115$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+23\\2\times 69-23\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\115\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-46,y=115$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Naqqas 2x+y=23 minn x+y=69 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-2x+y-y=69-23$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x-2x=69-23$$

Żid x ma' -2x.

$$-x=69-23$$

Żid 69 ma' -23.

$$-x=46$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-46$$

Issostitwixxi -46 għal x f'2x+y=23. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2\left(-46\right)+y=23$$

Immultiplika 2 b'-46.

$$-92+y=23$$

Żid 92 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=115$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-46,y=115$$