Issolvi {c}{x+y=64}{12x-26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x - 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{1683}{38} = 44\frac{11}{38} \approx 44.289473684$$

$$y = \frac{749}{38} = 19\frac{27}{38} \approx 19.710526316$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=64$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+64$$

Issostitwixxi -y+64 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 12x-26y=19.

$$12\left(-y+64\right)-26y=19$$

Immultiplika 12 b'-y+64.

$$-12y+768-26y=19$$

Żid -12y ma' -26y.

$$-38y+768=19$$

Naqqas 768 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-38y=-749$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-38.

$$y=\frac{749}{38}$$

Issostitwixxi \frac{749}{38} għal y f'x=-y+64. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{749}{38}+64$$

Żid 64 ma' -\frac{749}{38}.

$$x=\frac{1683}{38}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{26}{-26-12}&-\frac{1}{-26-12}\\-\frac{12}{-26-12}&\frac{1}{-26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&\frac{1}{38}\\\frac{6}{19}&-\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64+\frac{1}{38}\times 19\\\frac{6}{19}\times 64-\frac{1}{38}\times 19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1683}{38}\\\frac{749}{38}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Biex tagħmel x u 12x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'12 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$12x+12y=12\times 64,12x-26y=19$$

Issimplifika.

$$12x+12y=768,12x-26y=19$$

Naqqas 12x-26y=19 minn 12x+12y=768 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+12y+26y=768-19$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y+26y=768-19$$

Żid 12y ma' 26y.

$$38y=768-19$$

Żid 768 ma' -19.

$$38y=749$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'38.

$$y=\frac{749}{38}$$

Issostitwixxi \frac{749}{38} għal y f'12x-26y=19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$12x-26\times \frac{749}{38}=19$$

Immultiplika -26 b'\frac{749}{38}.

$$12x-\frac{9737}{19}=19$$

Żid \frac{9737}{19} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=\frac{10098}{19}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=\frac{1683}{38}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$