Issolvi {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=64$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+64$$

Issostitwixxi -y+64 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

Immultiplika 12 b'-y+64.

$$-12y+768+26y=19$$

Żid -12y ma' 26y.

$$14y+768=19$$

Naqqas 768 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$14y=-749$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{107}{2} għal y f'x=-y+64. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

Immultiplika -1 b'-\frac{107}{2}.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

Żid 64 ma' \frac{107}{2}.

$$x=\frac{235}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Biex tagħmel x u 12x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'12 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

Issimplifika.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

Naqqas 12x+26y=19 minn 12x+12y=768 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-26y=768-19$$

Żid 12y ma' -26y.

$$-14y=768-19$$

Żid 768 ma' -19.

$$-14y=749$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{107}{2} għal y f'12x+26y=19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

Immultiplika 26 b'-\frac{107}{2}.

$$12x-1391=19$$

Żid 1391 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=1410$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=\frac{235}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$