Issolvi {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=500$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+500$$

Issostitwixxi -y+500 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

Immultiplika 50 b'-y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

Żid -50y ma' 80y.

$$30y+25000=28000$$

Naqqas 25000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$30y=3000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$y=100$$

Issostitwixxi 100 għal y f'x=-y+500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-100+500$$

Żid 500 ma' -100.

$$x=400$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=400,y=100$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=400,y=100$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Biex tagħmel x u 50x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'50 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

Issimplifika.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

Naqqas 50x+80y=28000 minn 50x+50y=25000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

Żid 50x ma' -50x. 50x u -50x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$50y-80y=25000-28000$$

Żid 50y ma' -80y.

$$-30y=25000-28000$$

Żid 25000 ma' -28000.

$$-30y=-3000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-30.

$$y=100$$

Issostitwixxi 100 għal y f'50x+80y=28000. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$50x+80\times 100=28000$$

Immultiplika 80 b'100.

$$50x+8000=28000$$

Naqqas 8000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$50x=20000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'50.

$$x=400$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=400,y=100$$