Issolvi {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=15$$

$$y=35$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=50$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+50$$

Issostitwixxi -y+50 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

Immultiplika 300 b'-y+50.

$$-300y+15000+200y=11500$$

Żid -300y ma' 200y.

$$-100y+15000=11500$$

Naqqas 15000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-100y=-3500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-100.

$$y=35$$

Issostitwixxi 35 għal y f'x=-y+50. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-35+50$$

Żid 50 ma' -35.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=35$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=15,y=35$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Biex tagħmel x u 300x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'300 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

Issimplifika.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

Naqqas 300x+200y=11500 minn 300x+300y=15000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

Żid 300x ma' -300x. 300x u -300x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$300y-200y=15000-11500$$

Żid 300y ma' -200y.

$$100y=15000-11500$$

Żid 15000 ma' -11500.

$$100y=3500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'100.

$$y=35$$

Issostitwixxi 35 għal y f'300x+200y=11500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$300x+200\times 35=11500$$

Immultiplika 200 b'35.

$$300x+7000=11500$$

Naqqas 7000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$300x=4500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'300.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=35$$