Issolvi {c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=17$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=27$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+27$$

Issostitwixxi -y+27 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

Immultiplika 0.25 b'-y+27.

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

Żid -\frac{y}{4} ma' \frac{y}{20}.

$$-0.2y+6.75=3.35$$

Naqqas 6.75 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.2y=-3.4$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'x=-y+27. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-17+27$$

Żid 27 ma' -17.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Biex tagħmel x u \frac{x}{4} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'0.25 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

Issimplifika.

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

Naqqas 0.25x+0.05y=3.35 minn 0.25x+0.25y=6.75 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Żid \frac{x}{4} ma' -\frac{x}{4}. \frac{x}{4} u -\frac{x}{4} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Żid \frac{y}{4} ma' -\frac{y}{20}.

$$0.2y=6.75-3.35$$

Żid 6.75 ma' -3.35 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$0.2y=3.4$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'0.25x+0.05y=3.35. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

Immultiplika 0.05 b'17.

$$0.25x+0.85=3.35$$

Naqqas 0.85 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.25x=2.5$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'4.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=17$$