Issolvi {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Biex issib l-oppost ta' x-11, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$y-22-x+11=36$$

Żid -22 u 11 biex tikseb -11.

$$y-11-x=36$$

Żid 11 maż-żewġ naħat.

$$y-x=36+11$$

Żid 36 u 11 biex tikseb 47.

$$y-x=47$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=122$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+122$$

Issostitwixxi -y+122 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Immultiplika -1 b'-y+122.

$$y-122+y=47$$

Żid y ma' y.

$$2y-122=47$$

Żid 122 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=169$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{169}{2}$$

Issostitwixxi \frac{169}{2} għal y f'x=-y+122. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Żid 122 ma' -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Biex issib l-oppost ta' x-11, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$y-22-x+11=36$$

Żid -22 u 11 biex tikseb -11.

$$y-11-x=36$$

Żid 11 maż-żewġ naħat.

$$y-x=36+11$$

Żid 36 u 11 biex tikseb 47.

$$y-x=47$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Biex issib l-oppost ta' x-11, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$y-22-x+11=36$$

Żid -22 u 11 biex tikseb -11.

$$y-11-x=36$$

Żid 11 maż-żewġ naħat.

$$y-x=36+11$$

Żid 36 u 11 biex tikseb 47.

$$y-x=47$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Naqqas -x+y=47 minn x+y=122 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x+x+y-y=122-47$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x+x=122-47$$

Żid x ma' x.

$$2x=122-47$$

Żid 122 ma' -47.

$$2x=75$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{75}{2}$$

Issostitwixxi \frac{75}{2} għal x f'-x+y=47. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Żid \frac{75}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{169}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$