Issolvi {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-5$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x+6y=-10$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-6y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y-5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x-5y=15.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

Immultiplika -8 b'\frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

Żid 6y ma' -5y.

$$y+10=15$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

Żid -\frac{5}{4} ma' -\frac{15}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-5,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Biex tagħmel 8x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

Issimplifika.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

Naqqas -64x-40y=120 minn -64x-48y=80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

Żid -64x ma' 64x. -64x u 64x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-48y+40y=80-120$$

Żid -48y ma' 40y.

$$-8y=80-120$$

Żid 80 ma' -120.

$$-8y=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'-8x-5y=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x-5\times 5=15$$

Immultiplika -5 b'5.

$$-8x-25=15$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=5$$