Issolvi {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$40x+60y=480$$

Naqqas 60y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$40x=-60y+480$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

Immultiplika \frac{1}{40} b'-60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+12 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

Immultiplika 30 b'-\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

Żid -45y ma' 15y.

$$-30y+360=180$$

Naqqas 360 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-30y=-180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-30.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'6.

$$x=-9+12$$

Żid 12 ma' -9.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Biex tagħmel 40x u 30x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'30 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'40.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Issimplifika.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Naqqas 1200x+600y=7200 minn 1200x+1800y=14400 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Żid 1200x ma' -1200x. 1200x u -1200x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$1800y-600y=14400-7200$$

Żid 1800y ma' -600y.

$$1200y=14400-7200$$

Żid 14400 ma' -7200.

$$1200y=7200$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'1200.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'30x+15y=180. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$30x+15\times 6=180$$

Immultiplika 15 b'6.

$$30x+90=180$$

Naqqas 90 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$30x=90$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=6$$