Issolvi {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3.9x+y=359.7$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3.9x=-y+359.7$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.9, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

Immultiplika \frac{10}{39} b'-y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

Immultiplika -1.8 b'-\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Żid \frac{6y}{13} ma' -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Żid \frac{10791}{65} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{13}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Issostitwixxi -\frac{2276}{35} għal y f'x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Immultiplika -\frac{10}{39} b'-\frac{2276}{35} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Żid \frac{1199}{13} ma' \frac{4552}{273} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Biex tagħmel \frac{39x}{10} u -\frac{9x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1.8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Issimplifika.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Naqqas -7.02x-3.9y=-510.9 minn -7.02x-1.8y=-647.46 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Żid -\frac{351x}{50} ma' \frac{351x}{50}. -\frac{351x}{50} u \frac{351x}{50} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Żid -\frac{9y}{5} ma' \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Żid -647.46 ma' 510.9 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$2.1y=-136.56$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.1, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Issostitwixxi -\frac{2276}{35} għal y f'-1.8x-y=-131. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Naqqas \frac{2276}{35} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-1.8, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$