Issolvi {c}{3x+y=60}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 60 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=30$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=60$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+60\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+60.

$$x=-\frac{1}{3}y+20$$

Issostitwixxi -\frac{y}{3}+20 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=40.

$$-\frac{1}{3}y+20+y=40$$

Żid -\frac{y}{3} ma' y.

$$\frac{2}{3}y+20=40$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{3}y=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=30$$

Issostitwixxi 30 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times 30+20$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'30.

$$x=-10+20$$

Żid 20 ma' -10.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=30$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 40\\-\frac{1}{2}\times 60+\frac{3}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=30$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Naqqas x+y=40 minn 3x+y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-x+y-y=60-40$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x-x=60-40$$

Żid 3x ma' -x.

$$2x=60-40$$

Żid 60 ma' -40.

$$2x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=10$$

Issostitwixxi 10 għal x f'x+y=40. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$10+y=40$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=30$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=30$$