Issolvi {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+5}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Immultiplika -2 b'\frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Żid \frac{2y}{3} ma' 2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Żid \frac{10}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{8}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{31}{8}$$

Issostitwixxi \frac{31}{8} għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'\frac{31}{8} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Żid \frac{5}{3} ma' -\frac{31}{24} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{3}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Biex tagħmel 3x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Issimplifika.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Naqqas -6x+6y=21 minn -6x-2y=-10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Żid -6x ma' 6x. -6x u 6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-6y=-10-21$$

Żid -2y ma' -6y.

$$-8y=-10-21$$

Żid -10 ma' -21.

$$-8y=-31$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=\frac{31}{8}$$

Issostitwixxi \frac{31}{8} għal y f'-2x+2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Immultiplika 2 b'\frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Naqqas \frac{31}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{3}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$