Issolvi {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y+5=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x+y=-5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y-5}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

Immultiplika -2 b'\frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Żid \frac{2y}{3} ma' -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Żid \frac{10}{3} ma' 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Naqqas \frac{13}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=13$$

Issostitwixxi 13 għal y f'x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Żid -\frac{5}{3} ma' -\frac{13}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-6,y=13$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-6,y=13$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Biex tagħmel 3x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Issimplifika.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Naqqas -6x-3y+3=0 minn -6x-2y-10=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Żid -6x ma' 6x. -6x u 6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y+3y-10-3=0$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y-10-3=0$$

Żid -10 ma' -3.

$$y-13=0$$

Żid 13 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=13$$

Issostitwixxi 13 għal y f'-2x-y+1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-13+1=0$$

Żid -13 ma' 1.

$$-2x-12=0$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-6,y=13$$