Issolvi {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=32$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+32$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+32}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

Immultiplika 365 b'\frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

Żid -\frac{730y}{3} ma' 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Naqqas \frac{11680}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{52}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Issostitwixxi \frac{27193}{130} għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'\frac{27193}{130} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Żid \frac{32}{3} ma' -\frac{27193}{195} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Biex tagħmel 3x u 365x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'365 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Issimplifika.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Naqqas 1095x+678y=802.8 minn 1095x+730y=11680 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

Żid 1095x ma' -1095x. 1095x u -1095x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$730y-678y=11680-802.8$$

Żid 730y ma' -678y.

$$52y=11680-802.8$$

Żid 11680 ma' -802.8.

$$52y=10877.2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'52.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Issostitwixxi \frac{27193}{130} għal y f'365x+226y=267.6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

Immultiplika 226 b'\frac{27193}{130}.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Naqqas \frac{3072809}{65} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'365.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$