Issolvi {c}{3a=c+4+a/2}{a=c}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, c

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$6a=2c+8+a$$

Naqqas 2c miż-żewġ naħat.

$$6a-2c=8+a$$

Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$6a-2c-a=8$$

Ikkombina 6a u -a biex tikseb 5a.

$$5a-2c=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas c miż-żewġ naħat.

$$a-c=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5a-2c=8$$

Żid 2c maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5a=2c+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'8+2c.

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{8+2c}{5} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, a-c=0.

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

Żid \frac{2c}{5} ma' -c.

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

Naqqas \frac{8}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$c=\frac{8}{3}$$

Issostitwixxi \frac{8}{3} għal c f'a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'\frac{8}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' \frac{16}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=\frac{8}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$6a=2c+8+a$$

Naqqas 2c miż-żewġ naħat.

$$6a-2c=8+a$$

Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$6a-2c-a=8$$

Ikkombina 6a u -a biex tikseb 5a.

$$5a-2c=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas c miż-żewġ naħat.

$$a-c=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u c.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$6a=2c+8+a$$

Naqqas 2c miż-żewġ naħat.

$$6a-2c=8+a$$

Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$6a-2c-a=8$$

Ikkombina 6a u -a biex tikseb 5a.

$$5a-2c=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas c miż-żewġ naħat.

$$a-c=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Biex tagħmel 5a u a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

Issimplifika.

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

Naqqas 5a-5c=0 minn 5a-2c=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5a-5a-2c+5c=8$$

Żid 5a ma' -5a. 5a u -5a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2c+5c=8$$

Żid -2c ma' 5c.

$$3c=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$c=\frac{8}{3}$$

Issostitwixxi \frac{8}{3} għal c f'a-c=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a-\frac{8}{3}=0$$

Żid \frac{8}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=\frac{8}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$