Issolvi {c}{3(x+y)-4(x-y)=4}{x+y/2+x-y/6=1}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = 4 } \\ { \frac { x + y } { 2 } + \frac { x - y } { 6 } = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{17}{15} = 1\frac{2}{15} \approx 1.133333333$$

$$y=\frac{11}{15}\approx 0.733333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'x-y.

$$3x+3y-4x+4y=4$$

Ikkombina 3x u -4x biex tikseb -x.

$$-x+3y+4y=4$$

Ikkombina 3y u 4y biex tikseb 7y.

$$-x+7y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,6.

$$3\left(x+y\right)+x-y=6$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+x-y=6$$

Ikkombina 3x u x biex tikseb 4x.

$$4x+3y-y=6$$

Ikkombina 3y u -y biex tikseb 2y.

$$4x+2y=6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+7y=4,4x+2y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+7y=4$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-7y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-7y+4\right)$$

Immultiplika -1 b'-7y+4.

$$x=7y-4$$

Issostitwixxi 7y-4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+2y=6.

$$4\left(7y-4\right)+2y=6$$

Immultiplika 4 b'7y-4.

$$28y-16+2y=6$$

Żid 28y ma' 2y.

$$30y-16=6$$

Żid 16 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$30y=22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$y=\frac{11}{15}$$

Issostitwixxi \frac{11}{15} għal y f'x=7y-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=7\times \frac{11}{15}-4$$

Immultiplika 7 b'\frac{11}{15}.

$$x=\frac{77}{15}-4$$

Żid -4 ma' \frac{77}{15}.

$$x=\frac{17}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{17}{15},y=\frac{11}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'x-y.

$$3x+3y-4x+4y=4$$

Ikkombina 3x u -4x biex tikseb -x.

$$-x+3y+4y=4$$

Ikkombina 3y u 4y biex tikseb 7y.

$$-x+7y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,6.

$$3\left(x+y\right)+x-y=6$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+x-y=6$$

Ikkombina 3x u x biex tikseb 4x.

$$4x+3y-y=6$$

Ikkombina 3y u -y biex tikseb 2y.

$$4x+2y=6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+7y=4,4x+2y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-7\times 4}&-\frac{7}{-2-7\times 4}\\-\frac{4}{-2-7\times 4}&-\frac{1}{-2-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{30}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 4+\frac{7}{30}\times 6\\\frac{2}{15}\times 4+\frac{1}{30}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{15}\\\frac{11}{15}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{17}{15},y=\frac{11}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'x-y.

$$3x+3y-4x+4y=4$$

Ikkombina 3x u -4x biex tikseb -x.

$$-x+3y+4y=4$$

Ikkombina 3y u 4y biex tikseb 7y.

$$-x+7y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,6.

$$3\left(x+y\right)+x-y=6$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+x-y=6$$

Ikkombina 3x u x biex tikseb 4x.

$$4x+3y-y=6$$

Ikkombina 3y u -y biex tikseb 2y.

$$4x+2y=6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+7y=4,4x+2y=6$$

Biex tagħmel -x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$4\left(-1\right)x+4\times 7y=4\times 4,-4x-2y=-6$$

Issimplifika.

$$-4x+28y=16,-4x-2y=-6$$

Naqqas -4x-2y=-6 minn -4x+28y=16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x+28y+2y=16+6$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$28y+2y=16+6$$

Żid 28y ma' 2y.

$$30y=16+6$$

Żid 16 ma' 6.

$$30y=22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$y=\frac{11}{15}$$

Issostitwixxi \frac{11}{15} għal y f'4x+2y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+2\times \frac{11}{15}=6$$

Immultiplika 2 b'\frac{11}{15}.

$$4x+\frac{22}{15}=6$$

Naqqas \frac{22}{15} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{68}{15}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{17}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{17}{15},y=\frac{11}{15}$$