Issolvi {c}{2x+5y=3}{y+x=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { y + x = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=3$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+3.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=2.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+y=2$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=2$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{3} għal y f'x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'-\frac{1}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' \frac{5}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{7}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5}&-\frac{5}{2-5}\\-\frac{1}{2-5}&\frac{2}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x+5y=3,2x+2y=2\times 2$$

Issimplifika.

$$2x+5y=3,2x+2y=4$$

Naqqas 2x+2y=4 minn 2x+5y=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+5y-2y=3-4$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-2y=3-4$$

Żid 5y ma' -2y.

$$3y=3-4$$

Żid 3 ma' -4.

$$3y=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{3} għal y f'x+y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-\frac{1}{3}=2$$

Żid \frac{1}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{7}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$