Issolvi {c}{-7x-3y=-20}{3x+6y=-15}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 x - 3 y = - 20 } \\ { 3 x + 6 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-7x-3y=-20$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=3y-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(3y-20\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{7} b'3y-20.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+20}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+6y=-15.

$$3\left(-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}\right)+6y=-15$$

Immultiplika 3 b'\frac{-3y+20}{7}.

$$-\frac{9}{7}y+\frac{60}{7}+6y=-15$$

Żid -\frac{9y}{7} ma' 6y.

$$\frac{33}{7}y+\frac{60}{7}=-15$$

Naqqas \frac{60}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{33}{7}y=-\frac{165}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{33}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x=-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-5\right)+\frac{20}{7}$$

Immultiplika -\frac{3}{7} b'-5.

$$x=\frac{15+20}{7}$$

Żid \frac{20}{7} ma' \frac{15}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-20\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\\\frac{1}{11}\left(-20\right)+\frac{7}{33}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

Biex tagħmel -7x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-3\right)y=3\left(-20\right),-7\times 3x-7\times 6y=-7\left(-15\right)$$

Issimplifika.

$$-21x-9y=-60,-21x-42y=105$$

Naqqas -21x-42y=105 minn -21x-9y=-60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-21x+21x-9y+42y=-60-105$$

Żid -21x ma' 21x. -21x u 21x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y+42y=-60-105$$

Żid -9y ma' 42y.

$$33y=-60-105$$

Żid -60 ma' -105.

$$33y=-165$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'33.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'3x+6y=-15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+6\left(-5\right)=-15$$

Immultiplika 6 b'-5.

$$3x-30=-15$$

Żid 30 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-5$$