Issolvi {c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1)

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+3y=-8$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-3y-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-3y-8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+8}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x-3y=2.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

Immultiplika -1 b'\frac{3y+8}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

Żid -\frac{3y}{5} ma' -3y.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

Żid \frac{8}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{18}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'-1.

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' -\frac{3}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Biex tagħmel -5x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

Issimplifika.

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

Naqqas 5x+15y=-10 minn 5x-3y=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-15y=8+10$$

Żid -3y ma' -15y.

$$-18y=8+10$$

Żid 8 ma' 10.

$$-18y=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-18.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-x-3y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

Immultiplika -3 b'-1.

$$-x+3=2$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$