Issolvi {c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-3x+5y=2$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-5y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-5y+2.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{5y-2}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+10y=-24.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

Żid \frac{5y}{3} ma' 10y.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

Żid \frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{35}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'-2.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

Żid -\frac{2}{3} ma' -\frac{10}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-4,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Biex tagħmel -3x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-3.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

Issimplifika.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

Naqqas -3x-30y=72 minn -3x+5y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y+30y=2-72$$

Żid 5y ma' 30y.

$$35y=2-72$$

Żid 2 ma' -72.

$$35y=-70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'35.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x+10y=-24. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

Immultiplika 10 b'-2.

$$x-20=-24$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=-2$$