Issolvi {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Ikkombina x u -2x biex tikseb -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$-x-2y-3y=-2$$

Ikkombina -2y u -3y biex tikseb -5y.

$$-x-5y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2x+3y=18$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x-5y=-2$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=5y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

Immultiplika -1 b'5y-2.

$$x=-5y+2$$

Issostitwixxi -5y+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

Immultiplika 2 b'-5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

Żid -10y ma' 3y.

$$-7y+4=18$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-5y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

Immultiplika -5 b'-2.

$$x=10+2$$

Żid 2 ma' 10.

$$x=12$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=12,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Ikkombina x u -2x biex tikseb -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$-x-2y-3y=-2$$

Ikkombina -2y u -3y biex tikseb -5y.

$$-x-5y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2x+3y=18$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=12,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Ikkombina x u -2x biex tikseb -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$-x-2y-3y=-2$$

Ikkombina -2y u -3y biex tikseb -5y.

$$-x-5y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2x+3y=18$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Biex tagħmel -x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Issimplifika.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

Naqqas -2x-3y=-18 minn -2x-10y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y+3y=-4+18$$

Żid -10y ma' 3y.

$$-7y=-4+18$$

Żid -4 ma' 18.

$$-7y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'2x+3y=18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

Immultiplika 3 b'-2.

$$2x-6=18$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=12$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=12,y=-2$$