Issolvi {l}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x + y = 4 }\\{ x - 4 y = 19 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+y=4$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Żid -\frac{y}{6} ma' -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Naqqas \frac{2}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{25}{6}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{22}{5} għal y f'x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-\frac{22}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' \frac{11}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{7}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Biex tagħmel 6x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Issimplifika.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Naqqas 6x-24y=114 minn 6x+y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y+24y=4-114$$

Żid y ma' 24y.

$$25y=4-114$$

Żid 4 ma' -114.

$$25y=-110$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{22}{5} għal y f'x-4y=19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

Immultiplika -4 b'-\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Naqqas \frac{88}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{7}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$