Issolvi {l}{5x-2y-4=0}{x+y-5=0}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 5 x - 2 y - 4 = 0 }\\{ x + y - 5 = 0 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-2y-4=0,x+y-5=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-2y-4=0$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x-2y=4$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=2y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4+2y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y-5=0.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}+y-5=0$$

Żid \frac{2y}{5} ma' y.

$$\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}-5=0$$

Żid \frac{4}{5} ma' -5.

$$\frac{7}{5}y-\frac{21}{5}=0$$

Żid \frac{21}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{5}y=\frac{21}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'3.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

Żid \frac{4}{5} ma' \frac{6}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-2y-4=0,x+y-5=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 4+\frac{2}{7}\times 5\\-\frac{1}{7}\times 4+\frac{5}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-2y-4=0,x+y-5=0$$

Biex tagħmel 5x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$5x-2y-4=0,5x+5y+5\left(-5\right)=0$$

Issimplifika.

$$5x-2y-4=0,5x+5y-25=0$$

Naqqas 5x+5y-25=0 minn 5x-2y-4=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-2y-5y-4+25=0$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-5y-4+25=0$$

Żid -2y ma' -5y.

$$-7y-4+25=0$$

Żid -4 ma' 25.

$$-7y+21=0$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=-21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x+y-5=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+3-5=0$$

Żid 3 ma' -5.

$$x-2=0$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$