Issolvi {l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-4$$

$$y=14$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+y=-2$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-y-2.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{4}-\frac{1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-2y=-48.

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

Immultiplika 5 b'-\frac{y}{4}-\frac{1}{2}.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

Żid -\frac{5y}{4} ma' -2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

Żid \frac{5}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{13}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=14$$

Issostitwixxi 14 għal y f'x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'14.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

Żid -\frac{1}{2} ma' -\frac{7}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=14$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-4,y=14$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Biex tagħmel 4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

Issimplifika.

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

Naqqas 20x-8y=-192 minn 20x+5y=-10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y+8y=-10+192$$

Żid 5y ma' 8y.

$$13y=-10+192$$

Żid -10 ma' 192.

$$13y=182$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$y=14$$

Issostitwixxi 14 għal y f'5x-2y=-48. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-2\times 14=-48$$

Immultiplika -2 b'14.

$$5x-28=-48$$

Żid 28 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=14$$