Issolvi {l}{-4x+5y=-46}{5x-4y=44}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ - 4 x + 5 y = - 46 }\\{ 5 x - 4 y = 44 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x+5y=-46$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-5y-46$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y-46\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-5y-46.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5y}{4}+\frac{23}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-4y=44.

$$5\left(\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}\right)-4y=44$$

Immultiplika 5 b'\frac{5y}{4}+\frac{23}{2}.

$$\frac{25}{4}y+\frac{115}{2}-4y=44$$

Żid \frac{25y}{4} ma' -4y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{115}{2}=44$$

Naqqas \frac{115}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{27}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{4}\left(-6\right)+\frac{23}{2}$$

Immultiplika \frac{5}{4} b'-6.

$$x=\frac{-15+23}{2}$$

Żid \frac{23}{2} ma' -\frac{15}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\\\frac{5}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-46\right)+\frac{5}{9}\times 44\\\frac{5}{9}\left(-46\right)+\frac{4}{9}\times 44\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Biex tagħmel -4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-4.

$$5\left(-4\right)x+5\times 5y=5\left(-46\right),-4\times 5x-4\left(-4\right)y=-4\times 44$$

Issimplifika.

$$-20x+25y=-230,-20x+16y=-176$$

Naqqas -20x+16y=-176 minn -20x+25y=-230 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-20x+20x+25y-16y=-230+176$$

Żid -20x ma' 20x. -20x u 20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$25y-16y=-230+176$$

Żid 25y ma' -16y.

$$9y=-230+176$$

Żid -230 ma' 176.

$$9y=-54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'5x-4y=44. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-4\left(-6\right)=44$$

Immultiplika -4 b'-6.

$$5x+24=44$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-6$$