Issolvi {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Ikkombina 60y u -40y biex tikseb 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Naqqas 12x miż-żewġ naħat.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Ikkombina 9x u -12x biex tikseb -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Naqqas 16y miż-żewġ naħat.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Ikkombina 20y u -16y biex tikseb 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Żid 5 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$-3x+4y=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=10$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

Immultiplika -3 b'-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Żid \frac{9y}{4} ma' 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Żid \frac{15}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{25}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -\frac{3}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Ikkombina 60y u -40y biex tikseb 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Naqqas 12x miż-żewġ naħat.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Ikkombina 9x u -12x biex tikseb -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Naqqas 16y miż-żewġ naħat.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Ikkombina 20y u -16y biex tikseb 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Żid 5 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$-3x+4y=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Ikkombina 60y u -40y biex tikseb 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Naqqas 12x miż-żewġ naħat.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Ikkombina 9x u -12x biex tikseb -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Naqqas 16y miż-żewġ naħat.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Ikkombina 20y u -16y biex tikseb 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Żid 5 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$-3x+4y=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Biex tagħmel 4x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Issimplifika.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Naqqas -12x+16y=20 minn -12x-9y=-30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Żid -12x ma' 12x. -12x u 12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-16y=-30-20$$

Żid -9y ma' -16y.

$$-25y=-30-20$$

Żid -30 ma' -20.

$$-25y=-50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'-3x+4y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+4\times 2=5$$

Immultiplika 4 b'2.

$$-3x+8=5$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$