Issolvi {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

Solvi għal u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal u billi tiżola u fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$u-30v=-65$$

Żid 30v maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$u=30v-65$$

Issostitwixxi 30v-65 għal u fl-ekwazzjoni l-oħra, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

Immultiplika -3 b'30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

Żid -90v ma' 80v.

$$-10v+195=165$$

Naqqas 195 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10v=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$v=3$$

Issostitwixxi 3 għal v f'u=30v-65. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$u=30\times 3-65$$

Immultiplika 30 b'3.

$$u=90-65$$

Żid -65 ma' 90.

$$u=25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=25,v=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi u u v.

$$u=25,v=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Biex tagħmel u u -3u ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Issimplifika.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Naqqas -3u+80v=165 minn -3u+90v=195 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Żid -3u ma' 3u. -3u u 3u jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$90v-80v=195-165$$

Żid 90v ma' -80v.

$$10v=195-165$$

Żid 195 ma' -165.

$$10v=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$v=3$$

Issostitwixxi 3 għal v f'-3u+80v=165. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$-3u+80\times 3=165$$

Immultiplika 80 b'3.

$$-3u+240=165$$

Naqqas 240 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3u=-75$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$u=25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=25,v=3$$